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一道高等数学题

今天做了一道高数题,发现实在有点坑,主要是得意识到y=2x的赋值语句是在哪一步进行的。

题目如是:设u(x,y)具有二阶连续偏导数,[latex]\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} =\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}[/latex] ,且 [latex]u{_x}(x,2x)=x[/latex],且 [latex]u'{_x}(x,2x)=x^2[/latex],则[latex]u”{_{xx}}(x,2x)=[/latex]?

这道题目的坑人之处在于,做题的时候必须得先意识到:y=2x的赋值语句是在操作之后才进行的。也就是说:

[latex]u'{_x}(x,2x)=x[/latex]实际上是 [latex]u'{_x}(x,y)=x |{_{y=2x}}[/latex]。所以[latex]u'{_x}(x,2x)=x^2[/latex]可改写成[latex]u'{_x}(x,y)=x |{_{y=2x}}[/latex]可改写成[latex]u{_x}\times1+u{_y}\times0 |{_{y=2x}}[/latex],即为[latex]u{_x}(x,y)=x^2[/latex]。

而对[latex]u{_x}(x,2x)=x[/latex]求导可得[latex]u{_x}+2u{_y}=1[/latex],这个时候继续求二阶导数可得:

[latex]u{_{xx}}+4u{_{xy}}+4u{_{yy}}=0[/latex],由题意知:[latex]u{_{xx}}=u{_{yy}}[/latex]。所以式子可以被改写成:

[latex]5u{_{xx}}+4u{_{xy}}=0[/latex],而我们的目标就是求出[latex]u{_{xx}}[/latex]。

而我们的条件有限。这个时候我们必须要意识到y=2x的赋值语句是在操作之后才进行的。也就是说[latex]u{_x}(x,y)=x^2[/latex],我们再对x求一次导可以得到:[latex]u{_{xx}}+2u{_{xy}}=2x[/latex]

联立[latex]5u{_{xx}}+4u{_{xy}}=0[/latex]和[latex]u{_{xx}}+2u{_{xy}}=2x[/latex]便可得出正确答案。

之所以会得到两个不同的等式,是因为y=2x的赋值语句是在操作之后才进行的。也就是说得到[latex]5u{_{xx}}+4u{_{xy}}=0[/latex]的时候,y=2x在第一次求导之前就完成了。而得到[latex]u{_{xx}}+2u{_{xy}}=2x[/latex]的时候,y=2x是在第一次求导结束,第二次求导开始之前才完成的。

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